(Sở Thái Nguyên 2022) Cho hàm số đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left( {{x^3} – x} \right){\left[ {f\left( {x + 1} \right)} \right]^2}\) là

A. 11.

B. 8.

C. 13.

D. 10.

Lời giải:

Chọn D

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng \(f(x) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt, gọi 4 nghiệm đó lần lượt là \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) với \({x_1} < – 1 < {x_2} < 0 < {x_3} < 1 < {x_4}\). Khi đó:

\(g(x) = \left( {{x^3} – x} \right){\left[ {a\left( {x + 1 – {x_1}} \right)\left( {x + 1 – {x_2}} \right)\left( {x + 1 – {x_3}} \right)\left( {x + 1 – {x_4}} \right)} \right]^2}\) (với \(a > 0\)).

Ta có \(g(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1;{x_1} – 1;{x_2} – 1;{x_3} – 1;{x_4} – 1} \right\}\), trong đó \({x_1} – 1,\,\,{x_2} – 1,\,\,{x_3} – 1,\,\,{x_4} – 1\) là các nghiệm kép. Ta có bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:

Vậy \(g(x)\) có 10 điểm cực trị.