(Sở Hà Tĩnh 2022) Xét các số thụ̣c dương \(x,y,z\) thoả män \((y + z)\left( {{3^x} – {{81}^{\frac{1}{{y + z}}}}} \right) = xy + xz – 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _2}\left( {2{y^2} + {z^2}} \right)\) bằng

A. \(2 + {\log _2}3\).

B. \(5 – {\log _2}3\).

C. \({\log _2}11\).

D. \(4 – {\log _2}3\).

Lời giải:

Chia hai vế cho \((y + z)\) ta được:

\((y + z)\left( {{3^x} – {{81}^{\frac{1}{{y + z}}}}} \right) = x(y + z) – 4 \Leftrightarrow {3^x} – {3^{\frac{4}{{y + z}}}} = x – \frac{4}{{y + z}} \Leftrightarrow {3^x} – x = {3^{\frac{4}{{y + z}}}} – \frac{4}{{y + z}}(*).\)\(\)

Xèt hàm số \(g(a) = {3^a} – a\) trên \((0; + \infty )\) có \(g\prime (a) = {3^a}\ln 3 – 1 > \ln 3 – 1 > 0,\forall a > 0\) do đó \(g(a)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\). Vì vậy \((*) \Leftrightarrow g(x) = g\left( {\frac{4}{{y + z}}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{4}{{y + z}}\).

Đến đây quan sát biểu thức \(P\) ta sẽ đánh giá \(2{y^2} + {z^2}\) theo \(y + z\) bằng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz \(2{y^2} + {z^2} = \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{2}}} + \frac{{{z^2}}}{1} \ge \frac{{{{(y + z)}^2}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{2}{3}{(y + z)^2} = \frac{2}{3}{\left( {\frac{4}{x}} \right)^2} = \frac{{32}}{{3{x^2}}}.\)

Do đó \(P = {\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _2}\left( {2{y^2} + {z^2}} \right) \ge {\log _{\sqrt 2 }}x + {\log _2}\left( {\frac{{32}}{{3{x^2}}}} \right) = {\log _2}\frac{{32}}{3} = 5 – {\log _2}3\).