(Sở Hà Tĩnh 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [ – 10;10]\) để phương trình

\({2^{{3^m}}} \cdot {7^{{x^2} – 2x}} + {7^{{3^m}}} \cdot {2^{{x^2} – 2x}} = {14^{{3^m}}}\left( {7{x^2} – 14x + 2 – 7 \cdot {3^m}} \right)\)\(\)

có bốn nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn \( – 1\) ?

A. 10.

B. 9.

C. 11.

D. 8.

Lời giải:.

Ta có

\(\begin{array}{l}{2^{{3^m}}} \cdot {7^{{x^2} – 2x}} + {7^{{3^m}}} \cdot {2^{{x^2} – 2x}} = {14^{{3^m}}}\left( {7{x^2} – 14x + 2 – 7 \cdot {3^m}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{{7^{{x^2} – 2x}}}}{{{7^{{3^m}}}}} + \frac{{{2^{{x^2} – 2x}}}}{{{2^{{3^m}}}}} = 7{x^2} – 14x + 2 – 7 \cdot {3^m} \Leftrightarrow {7^{{x^2} – 2x – {3^m}}} + {2^{{x^2} – 2x – {3^m}}} = 7\left( {{x^2} – 2x – {3^m}} \right) + 2\end{array}\)

Đăt \({x^2} – 2x – {3^m} = a\).

Khi đó \((*)\) trở thành \({7^a} + {2^a} = 7a + 2 \Leftrightarrow {7^a} + {2^a} – 7a – 2 = 0\).

Xét hàm số \(f(a) = {7^a} + {2^a} – 7a – 2\).

Ta có \(f\prime (a) = {7^a}\ln 7 + {2^a}\ln 2 – 7\).

Ta có \(f\prime \prime (a) = {7^a}{(\ln 7)^2} + {2^a}{(\ln 2)^2} > 0,\forall a \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(f\prime (a)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(f\prime (a) = 0\) có tối đa 1 nghiệm.

Mà \(f\prime (0) = \ln 7 + \ln 2 – 7 < 0\) và \(f\prime (1) = 7\ln 7 + 2\ln 2 – 7 > 0\).

Suy ra \(f\prime (a) = 0\) có nghiệm duy nhất \({a_0} \in (0;1)\).

Suy ra \(f(a) = 0\) có tối đa 2 nghiệm.

Bảng biến thiên của \(y = f(a)\)

Từ bảng biến thiên ta có \(f(a) = 0\) có đúng 2 nghiệm \(a = 0\) và \(a = 1\).

Từ đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {x^2} – 2x – {3^m} = 0}\\{a = {x^2} – 2x – {3^m} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^m} = {x^2} – 2x}\\{{3^m} = {x^2} – 2x – 1}\end{array}} \right.} \right.\)\((**)\)

Để \((*)\) có 4 nghiệm thực phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn \( – 1\) thì (**) có 4 nghiệm thực phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn -1 hay tương đương với đồ thị hàm số \(y = {3^m}\) cắt đồ thị các hàm số \(y = {x^2} – 2x\) và \(y = {x^2} – 2x – 1\) tại 4 điểm phân biệt trong đó có đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn \( – 1\).

Dựa vào đồ thị ta có \({3^m} \ge 3 \Leftrightarrow m \ge 1\).

Suy ra \(m \in \{ 1;2; \ldots ;10\} \).

Vậy có 10 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.