Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thảo thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 90 tấn sản phẩm)

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thảo thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 90 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01{{x}^{2}}$ (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=\dfrac{1}{2}(200+27x)$ (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10%$ tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Lời giải

Đáp án: 2150

Gọi $x$ là số tấn sản phẩm nhà máy B đặt hàng nhà máy A hàng tháng ( $0\le x\le 90$ )

Tổng doanh thu hàng tháng của nhà máy A là $xp(x)=90x-0,01{{x}^{3}}$ (triệu đồng)

Thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $9x-0,001{{x}^{3}}$ (triệu đồng)

Tổng chi phí mà nhà máy A phải chi trả hàng tháng là $\dfrac{1}{2}(200+27x)+(9x-0,001{{x}^{3}})$ (triệu đồng)

Khi đó, lợi nhuận hàng tháng của nhà máy A là

$(90x-0,01{{x}^{3}})-\dfrac{1}{2}(200+27x)-(9x-0,001{{x}^{3}})=-0,009{{x}^{3}}+67,5x-100$ (triệu đồng)

Xét hàm số $f(x)=-0,009{{x}^{3}}+67,5x-100$ $,x\in [0;90]$

Ta có: $f'(x)=-0,027{{x}^{2}}+67,5$.

$f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

x=50 \\

x=-50(l) \\

\end{array} \right.$ và $f(0)=-100,f(50)=2150,f(90)=-586$.

Vậy mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là $2150$ triệu đồng.