Lý thuyết Tích phân

I. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] , hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x)).

Kí hiệu là : \(I=\int_a^b f (x)dx\)

Vậy ta có :\(\int_a^b f (x)dx = F(x)|_a^b= F(b) – F(a)\)

Ký hiệu: $\int_{a}^{b}f(x)dx$ với a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

* Công thức tổng quát

$\int_{a}^{b}f(x)dx= F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

Chú ý:

• $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$
• $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

*   Ý nghĩa hình học của tích phân

Ta nói $\int_{a}^{b}f(x)dx$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x=a$ và $x=b$.

$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung)

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : \(\int_a^b f (x)dx \ge 0\)

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

\(\int_a^b g (x)dx \le \int_a^b f (x)dx\). Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi g(x) = f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

\(m(b – a) \le \int_a^b f (x)dx \le M(b – a)\)

II. Tính chất của tích phân

Tính chất 1

$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$

Tính chất 2

$\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

Tính chất 3

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ Với a<c<b

Xem: Tính tích phân bằng bảng nguyên hàm và phân tích

III. Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a, φ(β)=b và a ≤ φ(t) ≤ b , ∀t ∈ [α;β] . Khi đó:

\(\int_a^b f (x)dx = \int_\alpha ^\beta  f (\psi (t))\psi ‘(t)dt\)

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u^’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì:

\(\int_a^b f (xdx) = \int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du\)

Xem: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

 

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

\(\int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b – \int_a^b {u’} (x)v(x)dx\)

hay \(\int_a^b u dv = uv|_a^b – \int_a^b v du\)

Xem: Tính tích phân bằng phương pháp từng phần

========