Lợi nhuận tổng hàng ngày (tính theo đô la) mà TKK Corporation thu được từ việc sản xuất và bán ${x}$ đĩa DVD có thể ghi lại được cho bởi hàm lợi nhuận $P(x)=-0,000001{{x}^{3}}+0,001{{x}^{2}}+5x-500;\quad 0\le x\le 2000$
Tìm mức sản xuất ${x}$ để lợi nhuận hàng ngày đạt cực đại. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Lời giải
Trả lời: 1667
Tính đạo hàm ${P^{\prime}(x)}$ : ${{P}^{\prime }}(x)={{\left( -{{10}^{-6}}{{x}^{3}}+{{10}^{-3}}{{x}^{2}}+5x-500 \right)}^{\prime }}=-3\cdot {{10}^{-6}}{{x}^{2}}+2\cdot {{10}^{-3}}x+5$
Xét ${P^{\prime}(x)=0}$ : $-{{3.10}^{-6}}{{x}^{2}}+0,002x+5=0\Rightarrow {{3.10}^{-6}}{{x}^{2}}-0,002x-5=0.$
Chia cả hai vế cho ${10^{-6}}$ : $3{{x}^{2}}-2000x-5000000=0$
Giải phương trình bậc hai: $\begin{array}{l}
x=\dfrac{2000\pm \sqrt{{{2000}^{2}}+4\cdot 3\cdot 5000000}}{2\cdot 3}=\dfrac{2000\pm \sqrt{4000000+60000000}}{6} \\
=\dfrac{2000\pm \sqrt{64000000}}{6}=\dfrac{2000\pm 8000}{6}. \\
\end{array}$
Kết quả: ${{x}_{1}}=\dfrac{2000+8000}{6}=\dfrac{10000}{6}\approx 1666,67,\quad {{x}_{2}}=\dfrac{2000-8000}{6}=-1000$ (loại)
Chọn $x=1666,67$ (nằm trong đoạn $[0;2000]$ ).
Lập bảng biến thiên ta suy ra được ${P}$ đạt cực đại tại $x\approx 1666,67$.
Để lợi nhuận hàng ngày lớn nhất, TKK Corporation nên sản xuất khoảng $1667$ DVD