Câu hỏi:
Họ nguyên hàm của hàm số \(
\int {\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} – x – 1}}} \)
Lời Giải:
Đây là các câu trắc nghiệm về NGUYÊN HÀM mức độ 1,2
\(
\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} – x – 1}} = \frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}\)
Do đó, ta cần biến đổi
\(
\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} – x – 1}} = \frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x – 1}}\) để tính được nguyên hàm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x – 1}} = \frac{{a\left( {x – 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}}\\
{ = \frac{{ax – a + 2bx + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = \frac{{\left( {a + 2b} \right)x – a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}}
\end{array}\\
\Rightarrow \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} – x – 1}} = \frac{{(a + 2b)x – a + b}}{{(2x + 1)(x – 1)}}\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
a + 2b = 2\\
– a + b = 3
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{ – 4}}{3}\\
a = \frac{5}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\smallint \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} – x – 1}}dx = \smallint \left[ { – \frac{4}{3}.\frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}} + \frac{5}{3}.\frac{1}{{\left( {x – 1} \right)}}} \right]dx}\\
{ = – \frac{4}{3}\smallint \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}dx + \frac{5}{3}\smallint \frac{1}{{\left( {x – 1} \right)}}dx}\\
{ = – \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x – 1} \right| + C = – \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x – 1} \right| + C}
\end{array}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Nguyên hàm
Trả lời