Giải SBT Bài CUỐI Chương 4 – SBT Toán 10 CÁNH DIỀU

GIẢI CHI TIẾT Giải SBT Bài CUỐI Chương 4 – SBT Toán 10 CÁNH DIỀU
===========

Giải bài 67 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi giả thiết

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sin \alpha .\cot \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha .\tan \alpha } \right)^2} = {\left( {\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)^2} + {\left( {\cos \alpha .\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2}\)\( = {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\)

Chọn C

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 68 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải chi tiết

Kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) là góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Chọn D

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 69 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt \(\overrightarrow {CD} \) là nhân tử chung

Bước 2: Sử dụng các quy tắc vectơ và định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để biến đổi giả thiết

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CD} \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0  = 0\)

Chọn B 

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 70 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng định lí giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau và các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi giả thiết

Lời giải chi tiết

Do \(\alpha \) và \({90^0} – \alpha \) là hai góc phụ nhau nên \(\tan ({90^0} – \alpha ) = \cot \alpha \)

\( \Rightarrow \tan \alpha .\tan ({90^0} – \alpha ) = \tan \alpha .\cot \alpha  = 1\)

Chọn C

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 71 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong từng trường hợp

Bước 2: Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của các góc phụ nhau, bù nhau để tính các giá trị tương ứng

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết, 0° < \(\alpha \) < 90° \( \Rightarrow \cos \alpha  > 0,\tan \alpha  > 0,\cot \alpha  > 0\)

+ Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 – {\sin ^2}\alpha  = 1 – {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\) \( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{4}{5}\)

+ \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{4};\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}\)

+ \(\sin ({90^0} – \alpha ) = \cos \alpha  = \frac{4}{5};\cos ({90^0} – \alpha ) = \sin \alpha  = \frac{3}{5}\)

+ \(\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha  = \frac{3}{5};\cos \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – \cos \alpha  =  – \frac{4}{5}\)

b) Theo giả thiết, 90° < \(\alpha \) < 180° \( \Rightarrow \cos \alpha  < 0,\tan \alpha  < 0,\cot \alpha  < 0\)

+ Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 – {\sin ^2}\alpha  = 1 – {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\) \( \Rightarrow \cos \alpha  =  – \frac{4}{5}\)

+ \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  – \frac{3}{4};\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} =  – \frac{4}{3}\)

+ \(\sin ({90^0} – \alpha ) = \cos \alpha  =  – \frac{4}{5};\cos ({90^0} – \alpha ) = \sin \alpha  = \frac{3}{5}\)

+ \(\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha  = \frac{3}{5};\cos \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – \cos \alpha  = \frac{4}{5}\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 72 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng định lí cosin để tính độ dài BC và góc B của ∆ABC

Bước 2: Sử dụng định lí sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của ∆ABC

Bước 3: Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\) để tính diện tích của tam giác ABC

Bước 4: Sử dụng giá trị lượng giác của góc nhọn để tính độ dài đường cao AH

Bước 5: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và tính chất trung điểm của đoạn thẳng để tính \(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} \)

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:

+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.\cos A\)\( = {4^2} + {6^2} – 2.4.6.\cos {60^0} = 28\) \( \Rightarrow BC = 2\sqrt 7 \)

+ \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} – A{C^2}}}{{2.AB.BC}} \Rightarrow \widehat B \approx {79^0}\)

b) Áp dụng định lí sin cho ∆ABC ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{5}{{2.\sin {{60}^0}}} \approx 3\)

c) Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.4.6.\sin {60^0} \approx 10\)

d) Gọi AH là một đường cao của tam giác ABC

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} \approx 4\)

e) Ta có:

+\(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.6.\cos {60^0} = 12\)

+ Do M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

 \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{2}.12 + \frac{1}{2}{.6^2} = 24\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 73 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất \({\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2}\); các phép toán vectơ và các hằng đẳng thức để biến đổi vế phải của đẳng thức (*)

Lời giải chi tiết

Xét \(A{B^2} + A{C^2} – B{C^2} = \left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} – {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) = \left[ {{{\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)}^2} – 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  – {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right]\)

\( = \left[ {\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC} } \right) – 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]\) \( = \left[ {\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  – \overrightarrow {CA} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC} } \right) – 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]\)

\( = \left( {2\overrightarrow {AB} .2\overrightarrow {AC}  – 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right) = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}} \right)\) (ĐPCM)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 74 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng định lí cos để tính cos\(\widehat {ABC}\)

Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản để tính sin\(\widehat {ABC}\)

Bước 3: Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B\) để tính diện tích tam giác ABC

Bước 4: Sử dụng công thức \(m_A^2 = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} – \frac{{B{C^2}}}{4}\)để tính độ dài trung tuyến AM

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} – A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{1}{5}\)

Mặt khác, \({\sin ^2}\widehat {ABC} + {\cos ^2}\widehat {ABC} = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\widehat {ABC} = \frac{{24}}{{25}}\) \( \Rightarrow \sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\) (Do \({0^0} < \widehat {ABC} < {180^0}\))

b) Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5.6.\frac{{2\sqrt 6 }}{5} = 6\sqrt 6 \)

c) Gọi AM là một đường trung tuyến của ∆ABC, ta có:

\(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} – \frac{{B{C^2}}}{4} = 28\) \( \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 \)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 75 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Tách các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) sao cho xuất hiện vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và kết hợp giả thiết để biến đổi vế phải (*)

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, \(\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {IB} \)

Xét vế phải (*) ta có:

VT = \(\left( {\frac{1}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {OA}  – \left( {\frac{k}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {OB}  = \left( {\frac{1}{{1 – k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) – \left( {\frac{k}{{1 – k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\)

      \( = \left( {\frac{1}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {IA}  – \left( {\frac{k}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {OI}  – \left( {\frac{k}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {IB} \) \( = \left( {\frac{1}{{1 – k}} – \frac{k}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 – k}}} \right).k\overrightarrow {IB}  – \left( {\frac{k}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {IB} \)

      \( = \overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 – k}}} \right).k\overrightarrow {IB}  – \left( {\frac{k}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{k}{{1 – k}} – \frac{k}{{1 – k}}} \right)\overrightarrow {IB} \) \( = \overrightarrow {OI} \) (ĐPCM)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 76 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Bước 2: Sử dụng tích chất trung điểm của đoạn thẳng và tách các vectơ rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để biến đổi tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} \)

Bước 3: Chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = 0\)rồi kết luận

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.5.\cos {120^0} =  – 10\)

b) Do M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\); \(AD = \frac{2}{5}AC = 2\)

Xét \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  – \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  – \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  – \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

                   \( = \frac{1}{2}AB.AD.\cos \widehat {BAD} – \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{1}{2}.\frac{2}{5}A{C^2} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

                   \( = \frac{1}{2}.4.2.\cos {120^0} – \frac{1}{2}{.4^2} + \frac{1}{5}{.5^2} – \frac{1}{2}.( – 10) = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = 0 \Rightarrow AM \bot BD\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 77 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Độ rộng khúc sông là chiều cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC

Bước 1: Tính góc \(\widehat {ABC},\widehat {ACB}\)

Bước 2: Sử dụng định lí sin để tính độ dài BC của ∆ABC

Bước 3: Tính diện tích tam giác ABC theo công thức \(S = \frac{1}{2}BC.AB.\sin \widehat {ABC}\)

Bước 4: Tính chiều cao h_C của tam giác ABC theo công thức \(S = \frac{1}{2}AB.{h_C}\) rồi kết luận

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat {ABC} = {180^0} – {65^0} = {115^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} – \left( {\widehat {CAB} + \widehat {ABC}} \right) = {30^0}\)

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow BC = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{50.\sin {{35}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} \approx 57,36\) (m)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}BC.AB.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.57,36.50.\sin {115^0} \approx 1299,65\) (m²)

Gọi h_c là chiều cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC

Ta có: \(S = \frac{1}{2}AB.{h_C} \Rightarrow {h_C} = \frac{{2S}}{{AB}} \approx 51,99\) (m)

Vậy chiều rộng khúc sông là 51,99 m

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 78 trang 107 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Rút gọn biểu thức \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  – \overrightarrow b } \right)\) rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  – \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} – \overrightarrow a .\overrightarrow b  + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b  – 2{\overrightarrow b ^2} = 2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 3\overrightarrow a .\overrightarrow b  – 2{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

Xét \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 4.5.\cos {135^0} =  – 10\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  – \overrightarrow b } \right) = {2.4^2} + 3.\left( { – 10\sqrt 2 } \right) – {2.5^2} =  – 18 – 30\sqrt 2 \)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 79 trang 108 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Dựng hình bình hành ABCD sao cho \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b \)

Bước 2: Sử dụng các quy tắc vectơ và hệ thức lượng trong tam giác để chứng minh đẳng thức

\({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

Bước 3: Áp dụng đẳng thức \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) để tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Xét hình bình hành ABCD thỏa mãn \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b \)

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

 \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = AC\)

Mà \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2AB.AC.\cos B = A{B^2} + A{D^2} – 2AB.AD.\cos B\)

Mặt khác, \(\widehat {BAD} + \widehat B = {180^0} \Rightarrow \cos \widehat B =  – \cos \widehat {BAD}\)

\( \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + A{D^2} + 2AB.AD.\cos \widehat {BAD} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} + 2AB.AD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) (ĐPCM)

b) Theo a) \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{{{{\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} – {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}{2} = \frac{{{{\sqrt 7 }^2} – {2^2} – {3^2}}}{2} =  – 3\)

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  – 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  – 3 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ – 3}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} =  – \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^0}\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 80 trang 108 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để biến đổi vế trái đẳng thức (*)

Lời giải chi tiết

+ Do D là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

+ Do E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {BE}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right)\)

+ Do F là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {CF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {CA}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} \)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { – \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  – \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} } \right)\)\( = \frac{1}{2}.0 = 0\) (ĐPCM)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 81 trang 108 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để tìm tập hợp các điểm M

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, \(\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 0\\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 0\end{array} \right.\)

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MP} \\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MQ} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .2\overrightarrow {MQ}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ}  = 0\)

+ Nếu M không trùng với P hoặc Q thì \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ}  = 0 \Leftrightarrow MP \bot MQ\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính PQ

+ Nếu M trùng với P hoặc Q thì hiển nhiên M thuộc đường tròn đường kính PQ

Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính PQ cố định

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4

Giải bài 82 trang 108 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm điểm P sao cho \(\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  = \overrightarrow 0 \)

Bước 2: Tách vectơ sao cho xuất hiện \(\overrightarrow {MP} \)

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức rút gọn ở bước 2 và kết luận

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right|\)

                                  \( = \left| {3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)} \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)\( \ge 3HG\) (với H là hình chiếu của G trên d)

Vậy với M là hình chiếu của G trên đường thẳng d thì biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 4
=======

THUỘC: Giải sách bài tập toán 10 – Cánh diều