Giải SBT Bài 6 Chương 4 – SBT Toán 10 CÁNH DIỀU

GIẢI CHI TIẾT Giải SBT Bài 6 Chương 4 – SBT Toán 10 CÁNH DIỀU
===========

Giải bài 57 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Biến đổi \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CA} \) thành 2 vectơ chung gốc rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  = \left( { – \overrightarrow {AB} } \right).\left( { – \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)

Chọn A

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 58 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Biến đổi \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) thành 2 vectơ chung gốc rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  – \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  =  – AB.BC.\cos \widehat {ABC}\)

Chọn C

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 59 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0}\) để tìm vị trí điểm M

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } \right) = {90^0} \Rightarrow \widehat {AMB} = {90^0}\)

Vậy tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thoả mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\)là đường tròn đường kính AB

Chọn D

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 60 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Biến đổi \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {NM} \) thành 2 vectơ chung gốc rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM}  =  – 9 \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MN}  = 9 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MN} } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow M{N^2} = 9 \Leftrightarrow MN = 3\) 

Chọn B

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 61 trang 105 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ để tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Bước 2: Biến đổi \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BN} \) thành các vectơ chung gốc (gốc C) rồi tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \)

Bước 3: Sử dụng các quy tắc và định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để tính \(M{N^2} = {\left( {\overrightarrow {MN} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} } \right)^2}\)  rồi tính độ dài MN

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

* \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = a.a.\cos {60^0} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

* \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  = \left( {\overrightarrow {CM}  – \overrightarrow {CA} } \right)\left( {\overrightarrow {CN}  – \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CN}  – \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB}  – \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)

Ta có: + \(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CN}  = CM.CN.\cos \widehat {MCN} = \frac{{2a}}{3}.\frac{{5a}}{4}.\cos {60^0} = \frac{{5{a^2}}}{{12}}\)

           + \(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CB}  = \frac{2}{3}B{C^2} = \frac{{2{a^2}}}{3}\)

           + \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CA} .\frac{5}{4}\overrightarrow {CA}  = \frac{5}{4}A{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)

           + \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = CA.CB.\cos \widehat {ACB} = a.a.\cos {60^0} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CN}  – \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB}  – \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = \frac{{5{a^2}}}{{12}} – \frac{{2{a^2}}}{3} – \frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} =  – {a^2}\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{{{a^2}}}{2}\), \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  =  – {a^2}\)

b) Ta có: \(M{N^2} = {\left( {\overrightarrow {MN} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} } \right)^2} = {\left( { – \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2}\) 

                      \( = {\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2} = \frac{4}{9}B{C^2} + \frac{{25}}{{16}}A{C^2} + \frac{5}{3}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \)

                      \( = \frac{{289}}{{144}}{a^2} – \frac{5}{3}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  = \frac{{289}}{{144}}{a^2} – \frac{5}{3}.CB.CA.\cos \widehat {BCA}\) \( = \frac{{289}}{{144}}{a^2} – \frac{5}{6}{a^2} = \frac{{169{a^2}}}{{144}}\)

\( \Rightarrow M{N^2} = \frac{{169{a^2}}}{{144}} \Rightarrow MN = \frac{{13a}}{{12}}\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 62 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng tính chất hình thoi để chứng minh ∆ABC đều

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ để tính giá trị \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, \(\widehat {DAB} = {60^0} \Rightarrow \overrightarrow {CAB}  = {60^0}\) mà AB = BC (ABCD là hình thoi) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh a

Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = CA.CB.\cos \widehat {ACB} = a.a.\cos {60^0} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 63 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Tách vectơ và đưa về các vectơ chung gốc (gốc A)

Lời giải chi tiết

Biến đổi vế trái (*) ta có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \)\(\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD}  – \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\) = VP (*) (ĐPCM)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 64 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Tách và đưa các vectơ  \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BN} \) về vectơ chung gốc sao cho xuất hiện vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {AC} \)

Bước 2: Sử dụng tính chất \(AM \bot BN \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  = 0\) để lập PT ẩn x

Bước 3: Giải PT ở bước 2 để tìm x và kết luận

Lời giải chi tiết

Do  \(AM \bot BN\)  nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  = 0\)

Ta có: \(x = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AN = xAC \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = x\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BM}  – \overrightarrow {BA}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  – \overrightarrow {BA} \) ; \(\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AN}  – \overrightarrow {AB}  = x\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} \)

Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  – \overrightarrow {BA} } \right).\left( {x\overrightarrow {AC}  – \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

                                \( \Leftrightarrow \frac{x}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC}  – \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}  – x\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

                                \( \Leftrightarrow \frac{x}{2}.BC.\sqrt 2 BC.\cos {45^0} + x.AB.\sqrt 2 AB.\cos {45^0} – A{B^2} = 0\)

                                \( \Leftrightarrow \frac{x}{2} + x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)

Vậy với \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) thì \(AM \bot BN\)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 65 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng tính chất \({\overrightarrow a ^2} = {a^2}\) , tính chất trọng tâm tam giác và tách vectơ để biến đổi vế trái

Lời giải chi tiết

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Biến đổi vế trái (*) ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)\( = {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

                                      \( = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)\)

                                      \( = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 \)

                                      \( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) = VP (*) (ĐPCM)

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6

Giải bài 66 trang 106 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 – CD

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt \(\overrightarrow {{v_0}} \) là vận tốc của máy bay khi không có gió, tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {{v_0}} \); \(\overrightarrow {{v_1}} \) là vận tốc của gió, tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \); \(\overrightarrow {{v_2}} \) là vận tốc của máy bay khi có gió

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa \(\overrightarrow {{v_0}} \); \(\overrightarrow {{v_1}} \); \(\overrightarrow {{v_2}} \)

Bước 3: Sử dụng các quy tắc vectơ và tích vô hướng của hai vectơ để tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {{v_2}} \)

Lời giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow {{v_0}} \) là vận tốc của máy bay khi không có gió \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| = 650\) (km/h)

      \(\overrightarrow {{v_1}} \) là vận tốc của gió \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 35\) (km/h)

      \(\overrightarrow {{v_2}} \) là vận tốc của máy bay khi có gió

Theo giả thiết, \(\overrightarrow {{v_2}}  = \overrightarrow {{v_0}}  + \overrightarrow {{v_1}} \) \( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|^2} = {\overrightarrow {{v_2}} ^2} = {\left( {\overrightarrow {{v_0}}  + \overrightarrow {{v_1}} } \right)^2}\)\( = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_0}} .\overrightarrow {{v_1}} \)

                                                                           \( = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{v_0}} ,\overrightarrow {{v_1}} } \right)\)

Mà \(\left( {\overrightarrow {{v_0}} ,\overrightarrow {{v_1}} } \right) = {45^0}\) nên \({\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{v_0}} ,\overrightarrow {{v_1}} } \right) = {650^2} + {35^2} + 2.650.35.\cos {45^0}\)\( \approx 455898,36\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| \approx 675,2\) (km/h)

Vậy tốc độ mới của máy bay là 675,2 km/h 

 

GIẢI SBT Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 6
=======

THUỘC: Giải sách bài tập toán 10 – Cánh diều