Đề: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và tạo với các mặt phẳng \(\left( {{\rm{Ox}}y} \right),\left( {Oyx} \right)\) cùng một góc bằng 600?

Phương trình mặt phẳng (P) qua A là \(a\left( {x – 1} \right) + b\left( {y – 2} \right) + c\left( {z – 3} \right) = 0\)

Phương trình các mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) và \(\left( {Oyz} \right):x = 0\).

Khi đó:

\(\cos \widehat {\left( {\left( P \right);\left( {Oxy} \right)} \right)} = \cos {60^0} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}\)   \(\left( 1 \right)\)

\(\cos \widehat {\left( {\left( P \right);\left( {Oyz} \right)} \right)} = \cos {60^0} = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}\)   \(\left( 2 \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = u\\\left| b \right| = v\end{array} \right.\), từ \(\left( 1 \right)\),\(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| c \right|\\2u = \sqrt {2{u^2} + {v^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| c \right|\\v = u\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| c \right|\\\left| b \right| = \left| a \right|\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Suy ra có tất cả 4 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.