Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’,\)đáy \(ABC\)là tam giác cân \(AB = AC = a,\)\(\widehat {BAC} = {120^o}\),\(BB’ = a\), \(I\)là trung điểm của \(CC’\). Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\,v\`a \,\left( {AB’I} \right)\) là

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’,\)đáy \(ABC\)là tam giác cân \(AB = AC = a,\)\(\widehat {BAC} = {120^o}\),\(BB’ = a\), \(I\)là trung điểm của \(CC’\). Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\,v\`a \,\left( {AB’I} \right)\) là

A. \(\frac{{10}}{3}\).

B. \(\frac{3}{{10}}\).

C. \(\sqrt {\frac{{10}}{3}} \).

D. \(\sqrt {\frac{3}{{10}}} \).

Lời giải:

Ta thấy tam giác \(ABC\) là hình chiếu vuông góc của tam giác\(AB’I\)lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\,\)

Gọi \(\varphi \)là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\,v\`a \,\left( {AB’I} \right)\)

Theo công thức hình chiếu ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}}\).

Ta có:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {120^o} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(AB’ = \sqrt {A{B^2} + BB{‘^2}} = a\sqrt 2 \)

\(IB’ = \sqrt {B’C{‘^2} + IC{‘^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\)

\( \Rightarrow \Delta AB’I\)vuông tại \(A\)nên \({S_{AB’I}} = \frac{1}{2}AB’.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\)

Vậy \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} \).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian.