Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa trục Oy và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn có chu vi bằng\(\,8\pi .\)

Ta có \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16 \Rightarrow \left( S \right)\,\)có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

Bán kính của đường tròn là: \(r = \frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4 = R \Rightarrow \)đường tròn đi qua tâm của mặt cầu (S)

Vtcp của Oy là \(\overrightarrow u \left( {0;1;0} \right)\), điểm \(A\left( {0;1;0} \right) \in Oy\)

Ta có \(\overrightarrow {IA} \left( {1;1;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { – 3;0;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)đi qua A và nhận \(\overrightarrow n \) làm VTPT\( \Rightarrow \)Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)là:

\(\left( \alpha  \right): – 3\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right) + 1\left( {z – 0} \right) = 0\)hay \(\left( \alpha  \right):3x – z = 0.\)