Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{{ – 4}}\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 1 – 2t\\ z = – 1 – 8t \end{array} \right.\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Cách 1:

Suy luận nhanh Ta thấy hai đường thẳng có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = k.\overrightarrow {{u_2}}\)

Nên suy ra chúng song song hoặc trùng nhau, nên chỉ cần lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng này và kiểm tra xem nó có thuộc đường thẳng kia hay không.

Nếu có thì hai đường thẳng này trùng nhau, ngược lại thì chúng song song.

Cách 2:

\(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = (1; – 1; – 4)\) đi qua điểm \({M_1}(1;1;2)\).

 \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = (2; – 2; – 8)\) đi qua điểm \({M_2}(0;1; – 1)\).

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { – 1;0; – 3} \right)\)
Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0 \end{array} \right.\)

Nên \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) // \(\left( {{\Delta _2}} \right)\).