Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}\) và hai điểm \(A\left( { – 1;3;1} \right),B\left( {0;2; – 1} \right)\). Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho diện tích của tam giác ABC bằng \(2\sqrt 2 \)  

Do \(C \in d:\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1} \Rightarrow C\left( { – 1 – 2t; – t;2 + t} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {CA}  = \left( {2t;t + 3; – t – 1} \right);\overrightarrow {CB}  = \left( {2t + 1;t + 2; – t – 3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right] = \left( { – 3t – 7;3t – 1; – 3t – 3} \right)\)

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right]} \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right]} \right| = 4\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {\left( { – 3t – 7} \right)^2} + {\left( {3t – 1} \right)^2} + {\left( { – 3t – 3} \right)^2} = 32\)

\( \Leftrightarrow 27{t^2} + 54t + 59 = 32 \Leftrightarrow 27{\left( {t + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t =  – 1 \Rightarrow C\left( {1;1;1} \right).\)