Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),B\left( { – 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x – y + z – 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) sao cho \(S = M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có \(I\left( {0;2;1} \right)\)

Vì MI là trung tuyến của MAB nên \(M{I^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4}\)

\( \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}.\)

Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên (P).

Vtpt của (P) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; – 1;1} \right)\).

 Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) là\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2 – t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

Khi đó \(M = d \cap \left( P \right)\). Viết hệ phương trình giao điểm của d và (P) ta có: \(t = \frac{4}{3}\)

Vậy tọa độ \(M\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\).