Đề toán 2022 [2D1-3.1-3] Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} + 2\left( {m – 1} \right){x^2}\) với \(m\)là tham số thực. Nếu \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) thì  \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)\) bằng

Đề toán 2022 [2D1-3.1-3] Cho hàm số \(f\left( x \right) = m{x^4} + 2\left( {m – 1} \right){x^2}\) với \(m\)là tham số thực. Nếu \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) thì  \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right)\) bằng

A. \(2\). B. \( – 1\). C. \(4\). D. \(0\).

Lời giải

Nếu \(m \ge 1\) thì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\), do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) (loại)
Nếu  \(m \le 0\) thì \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;2} \right]\), do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) (loại)
Với \(0 < m < 1\), \(f’\left( x \right) = 4m{x^3} + 4\left( {m – 1} \right)x = 4x\left( {m{x^2} + m – 1} \right)\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt {\frac{{1 – m}}{m}} \end{array} \right.\) Hàm số bậc 4 trùng phương \(f\left( x \right)\)nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{{1 – m}}{m}} \right)\) , đồng biến trên \(\left( {\frac{{1 – m}}{m};2} \right)\). Ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{1 – m}}{m}} \right) = f\left( 1 \right)\)

Suy ra \(\frac{{1 – m}}{m} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\). Do đó \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^4} – 2{x^2}\). Với \(f\left( 0 \right) = 0 & ;\,f\left( 2 \right) = 4;\,f\left( 1 \right) = \frac{{ – 3}}{2}\)

Vậy \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4\)

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.