Đề: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right).\)

Ta có \(y’ = 3{x^2} + 6x + m + 1\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow y’ \ge 0,\forall x \in \left( {0;1} \right).\)

\( \Leftrightarrow m \ge  – 3{x^2} – 6x – 1\,\,\left( {\forall x \in \left( {0;1} \right)} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;1} \right)} \left( { – 3{x^2} – 6x – 1} \right).\)

Do đó \(m \ge  – 1\) là giá trị cần tìm.