Đề: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số:                      $y = {x^2} – 3x + \frac{m}{x} + 3$ có $3$ điểm cực trị.Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong : $y = 3(x-1)^2$

Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số:                      $y = {x^2} – 3x + \frac{m}{x} + 3$ có $3$ điểm cực trị.Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong : $y = 3(x-1)^2$

Lời giải

Ta có $y^/=2x-3-\frac{m}{x^2} =\frac{2x^3-3x^2-m}{x^2} $
Hàm số có ba điểm cực trị  $\Leftrightarrow  y^/$ có ba nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow  2x^3-3x^2=m$ có ba nghiệm phân biệt $\neq  0$
Xét $f(x)=2x^3-3x^2.$ Ta có : $f^/(x)=6x^ 2-6x$
Từ đó, hàm số đồng biến trong $(-\infty ,0)$ và $(1,+\infty )$ nghịch biến trong $(0.1)$
Suy ra phương trình $2x^3-3x^2=m$ sẽ có ba nghiệm phân biệt
$(\neq  0)\Leftrightarrow -1Với điều kiện này, hàm số đã cho có ba điểm cực trị.Các điểm cực trị có tọa độ xác định bởi hệ :
$\begin{cases}y=x^2-3x+\frac{m}{x}+2  (1)  \\ 2x-3-\frac{m}{x^2} =0   (2) \end{cases} $
Từ $(2)$ ta có: $\frac{m}{x} =2x^2-3x;$thế vào $(1)$ ta được
$y=x^2-3x+(2x^2-3x)+3=3(x-1)^2$
Vậy cả ba điểm cực trị đều nằm trên đường cong có phương trình : $y=3(x-1)^2$