Câu hỏi:
Tìm giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 – x}}\) bằng 10.
- A. m=2
- B. m=1
- C. m=3
- D. m=4
Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) sẽ nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\).
\(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 – x}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} + 2x + m}}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} – 2x – m = 0\,\,(*) \end{array} \right.\)
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 1 + m > 0\\ {1^2} – 2.1 – m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > – 1\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(y = \frac{{\left( {{x^2} + mx} \right)’}}{{(1 – x)’}} = \frac{{2x + m}}{{ – 1}} = – 2x – m\)
Gọi \(A\left( {{x_1}; – 2{x_1} – m} \right);\,B\left( {{x_2}; – 2{x_2} – m} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = – m \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} AB = 10 \Rightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {2{x_1} – 2{x_2}} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 20 \Rightarrow {2^2} – 4( – m) = 20 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}\)
======
Các bạn xem lại Lý thuyết cực trị hàm số.
Trả lời