Đề: Cho hàm số: $y = mx^3 – 3mx^2 + (2m + 1)x + 3 – m \,\,\,\,\,(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của $(C_m)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Đề bài: Cho hàm số: $y = mx^3 – 3mx^2 + (2m + 1)x + 3 – m \,\,\,\,\,(C_m)$.
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của $(C_m)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải

Ta có: $y’ = 3m{x^2} – 6mx + 2m + 1$
Hàm số có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow  y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \begin{cases}m \neq  0 \\ \Delta ‘=9m^2-3m(2m+1)>0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m1 \end{gathered}  \right. $
Chia $y$ cho $y’$ ta được:
$y=\frac{x-1}{3}.y’+\frac{-2m+2}{3}x+ \frac{10-m}{3}   $
Vậy: $y(x_{CTrị})=\frac{x_{CTrị}-1}{3}.y'(x_{CTrị})+\frac{-2m+2}{3}x_{CTrị}+ \frac{10-m}{3}   $
Do $y'(x_{CTrị})=0$ ta có $y(x_{CTrị})=\frac{-2m+2}{3}x_{CTrị}+ \frac{10-m}{3}   $
Ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
$y=\frac{-2m+2}{3}x+\frac{10-m}{3}  $
Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm cố định mà đường thẳng nối hai điểm cực trị luôn đi qua ta được:
$y_0=\frac{-2m+2}{3}x_0+\frac{10-m}{3}  \,\,\,\, \forall m \in R$
$\Leftrightarrow m(2x_0+1)-2x_0+3y_0-10=0 \,\,\,\,\forall m \in R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2x_0+1=0 \\ -2x_0+3y_0-10=0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_0=-\frac{1}{2}  \\ y_0=3 \end{cases} $
Vậy đường thẳng nối hai điểm cực trị luôn đi qua điểm $I   \left ( -\frac{1}{2};3  \right )$ cố định.