Đề: Cho hàm số: $y = \frac{3(x + 1)}{x – 2}\,\,\,\,(C)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.$2$. Viết phương trình các đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và tiếp xúc với $(C).$$3$. Tìm tất cả các điểm trên ($C$) có tọa độ là các số nguyên.

Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{3(x + 1)}{x – 2}\,\,\,\,(C)$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.$2$. Viết phương trình các đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và tiếp xúc với $(C).$$3$. Tìm tất cả các điểm trên ($C$) có tọa độ là các số nguyên.

Lời giải

$1.$ Bạn đọc tự giải
$2.$  Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(x_0,y_0)\in (C)$ là
$y=-\frac{9}{(x_0-2)^2}(x-x_0)+y_0 $ với $y_0=\frac{3(x_0+1)}{x_0-2} $
Để đường thẳng đó đi qua $O(0,0),$ điều kiện cần và đủ là :
$\begin{array}{l}
\frac{{9{x_0}}}{{{{({x_0} – 2)}^2}}} + \frac{{3({x_0} + 1)}}{{{x_0} – 2}} = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} \ne 2\\
x_0^2 + 2{x_0} – 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} =  – 1 \pm \sqrt 3
\end{array}$
Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
$\left[ \begin{array}{l}
y =  – \frac{3}{2}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)x\\
y =  – \frac{3}{2}\left( {2 – \sqrt 3 } \right)x
\end{array} \right.$
$3.$ Ta viết lại:
$y = 3 + \frac{9}{{x – 2}}$ Điều kiện cần và đủ để điểm $M$ thuộc ($C$) có tọa độ nguyên là $x – 2$ nhận các giá trị $\pm 1,\pm3,\pm9$.Hay $x$ nhận các giá trị $2,\pm1,2\pm3,2\pm9$
Từ đó ta được $6$ điểm tọa độ nguyên:
$(1;-6)  (-3;12)  (-1;0)   (5;6)  (-7;2)   (11;4)$