Câu hỏi:
Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} .\) Đặt \(t = \sqrt {1 + \cos x} ,\) ta được kết quả nào sau đây?
- A. \(I = 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{x^2} – 1} \right)dx.\)
- B. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 \frac{{4{t^3} – 4t}}{t}dt.\)
- C. \(I = – 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} – 1} \right)dt.}\)
- D. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{ – 4{t^3} + 4t}}{t}dt.}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Đặt: \(t = \sqrt {1 + \cos x} \Rightarrow {t^2} = 1 + \cos x \Rightarrow 2tdt = – \sin xdx\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;\,x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x.\cos x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} \\ = – \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{4t({t^2} – 1)}}{t}} dt = – \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {4({t^2} – 1)dt} = 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {({t^2} – 1)dt.} \end{array}\)
======
Xem lý thuyết Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân.
Để lại phản hồi