Câu hỏi:
Cho \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)\) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 6. Tính \(F\left( {\frac{3}{4}} \right).\)
- A. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{125}}{{16}}\)
- B. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{126}}{{16}}\)
- C. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{123}}{{16}}\)
- D. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{127}}{{16}}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
\(I = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)dx}\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow tdt = xdx \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0,t = 1}\\ {x = \frac{3}{4},t = \frac{5}{4}} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow I = \int\limits_1^{\frac{5}{4}} {(2t + 5)dt = \left. {\left( {{t^2} + 5t} \right)} \right|_1^{\frac{5}{4}}} = \frac{{29}}{{16}}\)
Mặt khác \(I = F\left( {\frac{3}{4}} \right) – F(0) = F\left( {\frac{3}{4}} \right) – 6 = \frac{{29}}{{16}} \Rightarrow F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{125}}{{16}}.\)
======
Xem lý thuyết Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân.
Trả lời