Câu hỏi:
Có bao nhiêu số \(a \in \left( {0;20\pi } \right)\) sao cho \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x.\sin 2x} dx = \frac{2}{7}.\)
- A. 20
- B. 19
- C. 9
- D. 10
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: D
Ta có \(\int\limits_0^a {{{\sin }^5}x\sin 2xdx = \frac{2}{7}} \Leftrightarrow 2\int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx = \frac{2}{7}} \Leftrightarrow \int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx} = \frac{1}{7}\)
Đặt:
\(\begin{array}{l}t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = a \Rightarrow t = \sin a\end{array} \right.\\ \Rightarrow \int\limits_0^a {{{\sin }^6}x\cos xdx} = \int\limits_0^{\sin a} {{t^6}dt} = \left. {\frac{1}{7}{t^7}} \right|_0^{\sin a} = \frac{1}{7}\\ \Rightarrow {\sin ^7}a = 1 \Leftrightarrow \sin a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Mặt khác \(a \in \left( {0;20\pi } \right) \Rightarrow 0
\(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) .
Suy ra có 10 số a thỏa mãn đề bài.
======
Xem lý thuyết Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân.
Trả lời