Câu hỏi:
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} – 1} }}dx}\) bằng phương pháp đổi biến số \(u = \sqrt {{e^x} – 1}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
- A. \(I = \left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
- B. \(I = \frac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
- C. \(I = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
- D. \(I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
Đặt \(u = \sqrt {{e^x} – 1} \Rightarrow {u^2} = {e^x} – 1 \Rightarrow 2udu = {e^x}dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow u = 1.\\ x = \ln 5 \Rightarrow u = 2. \end{array} \right.\)
\(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} – 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{\left( {{u^2} + 1} \right)2u}}{u}} du\)
\(= 2\int\limits_1^2 {{u^2}du + 2\int\limits_1^2 {du} = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {^2}\\ {_1} \end{array}} \right.}\)
======
Xem lý thuyết Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân.
Trả lời