Câu hỏi:
Tìm \(\alpha \) để \(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ – 2x}} – {{2.3}^{ – x}}} \right)} dx \ge 0.\)
- A. \( – 1 \le \alpha
- B. \(\alpha \le – 1\)
- C. \(\alpha \le – 3\)
- D. \(\alpha = – 5\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: B
Đặt: \(t = – x \Rightarrow dt = – dx. \)
Đổi cận:\(\left\{ \begin{array}{l} x = \alpha \Rightarrow t = – \alpha \\ x = 0 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ – 2x}} – {{2.3}^{ – x}}} \right)dx} = – \int\limits_{ – \alpha }^0 {({3^{2t}} – {{2.3}^t})dt} \\ = \int\limits_0^{ – \alpha } {({3^{2t}} – {{2.3}^t})dt} = \int\limits_0^{ – \alpha } {{3^{2t}}dt} – 2.\int\limits_0^{ – \alpha } {{3^t}dt} \\ = \frac{1}{2}.\left. {\frac{{{3^{2t}}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ – \alpha } – 2.\left. {\frac{{{3^t}}}{{\ln 3}}} \right|_0^{ – \alpha } = \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ – 2\alpha }} – {{4.3}^{ – \alpha }} + 3} \right)\end{array}\)
Theo đề bài ta có:
\(\int\limits_\alpha ^0 {\left( {{3^{ – 2x}} – {{2.3}^{ – x}}} \right)dx} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\ln 3}}\left( {{3^{ – 2\alpha }} – {{4.3}^{ – \alpha }} + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {3^{ – 2\alpha }} – {4.3^{ – \alpha }} + 3 \ge 0\)
Đặt: \(t = {3^{ – \alpha }},t > 0\) Bất phương trình trở thành:
\({t^2} – 4t + 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t \ge 3\\t \le 1
\end{array} \right.\)
======
Xem lý thuyết Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân.
Trả lời