Đề bài: Giải hệ: $\begin{cases} x+y+z=1\\(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=68 \\x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2=16\end{cases}$

Lời giải

Từ phương trình thứ ba ta có:
$y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+x^2y+x^2z-6xyz=16$ hay $x(xy+yz+zx)+y(xy+yz+zx)+z(xy+yz+zx)-9xyz=16$;
$(xy+yz+zx)(x+y+z)-9xyz=16$    (1)
Từ hai phương trình thứ nhất và thứ hai ta có:
$-6(xy+yz+zx)=66$ hay $ xy+yz+zx=-11$     (2)
Từ (1), (2) suy ra $(-11).1-9xyz=16$ hay $xyz=-3$   (3)
Như vậy ta được hệ tương đương: $\begin{cases}x+y+z=1 \\xy+yz+zx=-11 \\xyz=-3 \end{cases}$
Kết hợp với phương trình thứ hai ta được :
$t^3-t^2-11t+3=0$ hay $(t+3)(t^2-4t+1)=0$
Cuối cùng hệ đã cho có 6 nghiệm là :
$(x;y;z)= (-3;2+\sqrt{3};2-\sqrt{3}); (-3;2-\sqrt{3};2+\sqrt{3}); (2+\sqrt{3};-3;2-\sqrt{3}); $
$(2+\sqrt{3};2-\sqrt{3};-3); (2-\sqrt{3};-3;2+\sqrt{3}); (2-\sqrt{3};2+\sqrt{3};-3)$

=========
Chuyên mục: Các dạng hệ phương trình khác