Đề bài: Giả sử $\begin{cases}ax+by=c \\ bx+cy=a \\  cx+ay=b \end{cases}       (1)$ có nghiệm. Chứng minh: $a^3+b^3+c^3=3abc       (2)$

Lời giải

Ta có:
( Đẳng thức $(2)$ sẽ thu được khi tìm nghiệm của hệ hai phương trình, cho thỏa mãn phương trình còn lại. Tuy vậy chúng ta hãy tiếp nhận một lời giải khá độc đáo sau)
Từ $(1)$ suy ra $\begin{cases}a^3=a^2a=a^2(bx+cy)=a^2bx+a^2cy \\ b^3=b^2b= b^2(cx+ay)=b^2cx+b^2ay \\ c^3=c^2c=c^2(ax+by)=c^2ax+c^2by \end{cases}$
Cộng vế theo vế: $a^3+b^3+c^3=ab\underbrace {(ax+by)}_{c}+bc\underbrace {bx+cy}_{a}+ca\underbrace {cx+ay}_{b}$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$  (đpcm)

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn