Câu hỏi:
Cho hai số thực b và c \(\left( {c > 0} \right).\) Ký hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0.\) Tìm điều kiện của b và c sao cho OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
- A.
\({b^2} = 2c.\) - B.
\(c = 2{b^2}.\) - C.
\(b = c.\) - D.
\({b^2} = c.\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: B
Giả sử \({z_1} = {x_1} + i{y_1};\,\,{z_2} = {x_2} + i{y_2} \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0.\)
Ta có: \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + b} \right)^2} = {b^2} – c \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = – b + i\sqrt {c – {b^2}} \\z = – b – i\sqrt {c – {b^2}} \end{array} \right.\left( {c > {b^2}} \right)\)
Suy ra tọa độ: \(A( – b;\sqrt {c – {b^2}} );\,\,B( – b; – \sqrt {c – {b^2}} )\)
Tam giác OAB vuông tại O nên: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)
Suy ra: \({b^2} + {b^2} – c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}.\)
Bài học cùng chương bài
- Đề bài: Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 4{\rm{z}} + 13 = 0.\) Tính mô đun của số phức \({\rm{w}} = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)i + {z_1}{z_2}.\)
- Đề bài: Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
- Đề bài: Giải phương trình \(\left( {iz – 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z – 2 + 3i} \right) = 0\) trên tập hợp số phức.
- Đề bài: Gọi A, B là hai điểm biểu diễn nghiệm số phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
- Đề bài: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^4} + 2{z^2} – 3 = 0\) trên tập số phức.
- Đề bài: Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \({z^4} – 2{z^2} – 8 = 0.\) Trên mặt phẳng tọa độ, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) đó. Tính giá trị của P=OA+OB+OC+OD, trong đó O là gốc tọa độ.
- Đề bài: Cho phương trình \({z^2} – 2x + 2 = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là sai?
- Đề bài: Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2x + 5 = 0\). Tính \(M = \left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right|.\)
- Đề bài: Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính độ dài đoạn thẳng AB.
- Đề bài: Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \({z_1},{z_2} \ne 0;{z_1} + {z_2} \ne 0\) và \(\frac{1}{{{z_1} + {z_2}}} = \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{2}{{{z_2}}}.\) Tính \(\left | \frac{{z_1}}{{z_2}} \right |.\)
- Đề bài: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 3 = 0.\) Tính \(A = \left| {{z_1}^2} \right| + \left| {{z_2}^2} \right|\)
- Đề bài: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết \({z_1} = w + 2i\) và \({z_2} = 2w – 3\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\)
- Đề bài: Gọi \({z_1},{z_2}\) là nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\)
- Đề bài: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} – 2z + 2 = 0\). Tính \(M = z_1^{200} + z_2^{200}.\)
- Đề bài: Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} – z + 1 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
Trả lời