Câu hỏi:
Cho hai số thực b và c \(\left( {c > 0} \right).\) Ký hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0.\) Tìm điều kiện của b và c sao cho OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
- A.
\({b^2} = 2c.\) - B.
\(c = 2{b^2}.\) - C.
\(b = c.\) - D.
\({b^2} = c.\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: B
Giả sử \({z_1} = {x_1} + i{y_1};\,\,{z_2} = {x_2} + i{y_2} \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0.\)
Ta có: \({z^2} + 2b{\rm{z}} + c = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + b} \right)^2} = {b^2} – c \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = – b + i\sqrt {c – {b^2}} \\z = – b – i\sqrt {c – {b^2}} \end{array} \right.\left( {c > {b^2}} \right)\)
Suy ra tọa độ: \(A( – b;\sqrt {c – {b^2}} );\,\,B( – b; – \sqrt {c – {b^2}} )\)
Tam giác OAB vuông tại O nên: \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\)
Suy ra: \({b^2} + {b^2} – c = 0 \Leftrightarrow c = 2{b^2}.\)
Trả lời