—-
Câu hỏi:
Cho các số thực dương \(1 > a > b > 0\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = – 3{\log _{{a^4}}}\frac{a}{b} + \log _b^2\left( {ab} \right)\)
- A. \({P_{\min }} = 3\)
- B. \({P_{\min }} = 4\)
- C. \({P_{\min }} = \frac{5}{2}\)
- D. \({P_{\min }} = \frac{3}{2}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Ta có: \(P = – \frac{3}{4}{\log _a}\frac{a}{b} + {\left( {{{\log }_b}\left( {ab} \right)} \right)^2} = – \frac{3}{4}\left( {1 – {{\log }_a}b} \right) + {\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)^2}\)
Đặt \(t = {\log _b}a\left( {0
Khi đó \(f’\left( t \right) = – \frac{3}{{4{t^2}}} + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = \frac{1}{2}\)
Giá trị nhỏ nhất: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 3\)
Do đó \({P_{\min }} = 3\) khi \(t = \frac{1}{2}\)
Trả lời