Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) với \(x \le 2020\) thỏa mãn \(2\left( {3x – y} \right) = 3\left( {1 + {9^y}} \right) – {\log _3}\left( {2x – 1} \right)\)

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) với \(x \le 2020\) thỏa mãn
\(2\left( {3x – y} \right) = 3\left( {1 + {9^y}} \right) – {\log _3}\left( {2x – 1} \right)\)

A. \(3\). B. \(1010\). C. \(4\). D. \(2020\).
Lời giải

Đặt \({\log _3}\left( {2x – 1} \right) = t \Rightarrow 2x = {3^t} + 1\), ta được phương trình như sau:
\(3\left( {{3^t} + 1} \right) – 2y = 3\left( {1 + {3^{2y}}} \right) – t \Leftrightarrow {3.3^t} + t = {3.3^{2y}} + 2y\) .
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {3.3^u} + u \Rightarrow f’\left( u \right) = {3.3^u}\ln 3 + 1 > 0,\forall u \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó \( \Leftrightarrow t = 2y\), vậy nên \(2x = {3^{2y}} + 1 \Leftrightarrow {9^y} = 2x – 1\).
Vì \(x \le 2020 \Rightarrow {9^y} \le 4039 \Leftrightarrow y \le {\log _9}4039\). Vì \(y\) nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).
Ta thấy với mỗi giá trị nguyên của \(y\) thì tìm được 1 giá trị nguyên của \(x\). Vậy có 3 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.