Cho \(\left( {x;y} \right)\) là các cặp số thỏa \(0 \le y \le 2021\) và \(3x + {x^2} – {3^{y + 1}} = {9^y}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {y^3} – 12{\log _3}x + 2.\)

Cho \(\left( {x;y} \right)\) là các cặp số thỏa \(0 \le y \le 2021\) và \(3x + {x^2} – {3^{y + 1}} = {9^y}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {y^3} – 12{\log _3}x + 2.\)

A. \( – 20\). B. \(2\). C. \(8254631011\). D. \( – 14\).
Lời giải
Ta có: \(3x + {x^2} – {3^{y + 1}} = {9^y}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x = {\left( {{3^y}} \right)^2} + {3.3^y} & (1)\)
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + 3t\) (\(t > 0\)), có \(f’\left( t \right) = 2t + 3 > 0,\forall t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Phương trình \((1)\)\( \Leftrightarrow \)\(f\left( x \right) = f\left( {{3^y}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = {3^y}.\)
Khi đó \(P = {y^3} – 12{\log _3}x + 2 = {y^3} – 12y + 2\).
Xét hàm số \(g\left( y \right) = {y^3} – 12y + 2\) (\(0 \le y \le 2021\)), có \(g’\left( y \right) = 3{y^2} – 12\).
\(g’\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = – 2\,(L)\end{array} \right.\).
\(g\left( 2 \right) = – 14\); \(g\left( 0 \right) = 2\); \(g\left( {2021} \right) = 8254631011\).
Vậy GTNN của \(P = – 14.\)

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.