Bất phương trình Cho bất phương trình \(\ln \frac{{{x^3} – 2{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2}} + {x^3} – 3{x^2} \ge 0\) có tập nghiệm \(S\). Tập \(S \cap \left( { – \infty ;100} \right)\) có số phần tử nguyên là

Bất phương trình Cho bất phương trình \(\ln \frac{{{x^3} – 2{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2}} + {x^3} – 3{x^2} \ge 0\) có tập nghiệm \(S\). Tập \(S \cap \left( { – \infty ;100} \right)\) có số phần tử nguyên là

A. \(99\). B. \(101\). C. \(97\). D. \(96\).
Lời giải
Điều kiện: \(\frac{{{x^3} – 2{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2}} > 0\) do \({x^2} + 2\) nên \({x^3} – 2{x^2} + 2 > 0\)
Bất phương trình \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^3} – 2{x^2} + 2} \right) – \ln \left( {{x^2} + 2} \right) + {x^3} – 2{x^2} + 2 – \left( {{x^2} + 2} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^3} – 2{x^2} + 2} \right) + {x^3} – 2{x^2} + 2 \ge \ln \left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2\) \(\left( 1 \right)\)
Xét hàm: \(f\left( t \right) = \ln t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(f’\left( t \right) = \frac{1}{t} + 1 > 0\) với \(\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} + 2 \ge {x^2} + 2\) \( \Leftrightarrow 0 \le {x^3} – 3{x^2}\)\( \Leftrightarrow 0 \le {x^2}\left( {x – 3} \right) \Leftrightarrow x \ge 3\) suy ra \(S = \left[ {3; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow T = S \cap \left( { – \infty ;100} \right) = \left[ {3;100} \right)\).
Tập các phần tử nguyên của \(T\) là \(\left\{ {3;4;5;…;99} \right\}\) có \(97\) phần tử nguyên.

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.