Phương trình \({\log _2}\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{3{x^2} – 5x + 8}} = {x^2} – 4x + 3\) có các nghiệm \({x_1};{x_2}\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 – 3{x_1}{x_2}\).

Phương trình \({\log _2}\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{3{x^2} – 5x + 8}} = {x^2} – 4x + 3\) có các nghiệm \({x_1};{x_2}\). Hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 – 3{x_1}{x_2}\).

A. \(31\). B. \( – 1\). C. \(1\). D. \( – 31\).
Lời giải

Điều kiện: \(\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{3{x^2} – 5x + 8}} > 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > – 1\\x < - 2\end{array} \right.\) Phương trình đã cho tương đương với: \({\log _2}\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{3{x^2} - 5x + 8}} = {x^2} - 4x + 3\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) - {\log _2}\left( {3{x^2} - 5x + 8} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\left( {3{x^2} - 5x + 8} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)} \right]\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + \frac{1}{2}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = {\log _2}\left( {3{x^2} - 5x + 8} \right) + \frac{1}{2}\left( {3{x^2} - 5x + 8} \right){\rm{ }}\left( * \right)\) Xét hàm số \(f(t) = {\log _2}t + \frac{1}{2}t,(\,t > 0)\); \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 2}} + \frac{1}{2} > 0\,\,\,\forall t > 0\).
Nên hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Mà phương trình \(\left( * \right)\) có dạng: \(f\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = f\left( {3{x^2} – 5x + 8} \right)\).
Nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
\(\left( {3{x^2} – 5x + 8} \right) = \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} – 8x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\,\,\,\)
Vậy \(A = x_1^2 + x_2^2 – 3{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 5{x_1}.{x_2} = 1\).

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.