Biết rằng phương trình \({\log _2}\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{2x + 5}}} \right) = – {x^2} + 4x + 9\) có hai nghiệm \(x = a + b\sqrt c \) và \(x = a – b\sqrt c \) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Tính tích \(a.b.c\).

Biết rằng phương trình \({\log _2}\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{2x + 5}}} \right) = – {x^2} + 4x + 9\) có hai nghiệm \(x = a + b\sqrt c \) và \(x = a – b\sqrt c \) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Tính tích \(a.b.c\).

A.\(8\). B.\( – 8\). C.\( – 12\). D. \(12\).
Lời giải

Điều kiện xác định: \(\frac{{{x^2} + 2}}{{2x + 5}} > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ – 5}}{2}\)
\({\log _2}\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{2x + 5}}} \right) = – {x^2} + 4x + 9\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) – {\log _2}\left( {2x + 5} \right) = – {x^2} + 4x + 9\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = {\log _2}\left( {2x + 5} \right) + {\log _2}2 + 4x + 10\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = {\log _2}\left( {4x + 10} \right) + 4x + 10\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
\(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\)\( \Rightarrow \)\(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + 2 > 0\\v = 4x + 10 > 0\end{array} \right.\). Khi đó ta được \({\log _2}u + u = {\log _2}v + v\)\( \Leftrightarrow f\left( u \right) = f\left( v \right)\)
Do đó \(f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v \Leftrightarrow {x^2} + 2 = 4x + 10\)
\( \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + 2\sqrt 3 \\x = 2 – 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) .
Vì \(a,b,c\) là các số nguyên dương nên \(a = 2,b = 2,c = 3\). Vậy \(a.b.c = 12\).

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.