Tính tổng các nghiệm của phương trình \({2021^{2021x}} + {2021^{x + 1}}.x = {2021^{{x^2}}} + {2021^x}.{x^2}\).

Tính tổng các nghiệm của phương trình \({2021^{2021x}} + {2021^{x + 1}}.x = {2021^{{x^2}}} + {2021^x}.{x^2}\).

A. \(2.\) B. \(2021.\) C. \(2022.\) D. \(2023.\)
Lời giải

Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\)
Chia 2 vế của phương trình cho \({2021^x} > 0\), ta được: \({2021^{2020x}} + 2021x = {2021^{{x^2} – x}} + {x^2}\)
\( \Leftrightarrow {2021^{2020x}} + 2020x = {2021^{{x^2} – x}} + {x^2} – x\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2021^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\)
\(f’\left( t \right) = {2021^t}.\ln \left( {2021} \right) + 1 > 0,\,\forall t\)
\( \Rightarrow \) hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
mà \(f\left( {2021x} \right) = f\left( {{x^2} – x} \right)\)
Từ đó suy ra: \(2021x = {x^2} – x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2022\end{array} \right.\)
Vậy ta có: \({x_1} + {x_2} = 2022\).

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.