(Chuyên Hoàng Văn Thụ – Hòa Bình – 2022) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(y\) sao cho tương ứng với mỗi giá trị y luôn tồn tại không quá 15 số nguyên \(x\) thỏa mãn điều kiện \({\log _{2021}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) \ge {\log _2}(x – y)\) ?

A. 2021.

B. 4042.

C. 2020.

D. 4041.

Lời giải:

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + {y^2} > 0}\\{x – y > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + y > 0}\\{x > y}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có bất phương trình \({\log _{2021}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) – {\log _2}(x – y) \ge 0\)

Xét \(f(x) = {\log _{2021}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) – {\log _2}(x – y)\) với \(x > y,y \in \mathbb{Z}\).

Ta có: \(f\prime (x) = \frac{1}{{\left( {x + {y^2}} \right)\ln 2021}} – \frac{1}{{(x – y)\ln 2}} = \frac{{x(\ln 2 – \ln 2021) – y\ln 2 – {y^2}\ln 2021}}{{\left( {x + {y^2}} \right) \cdot (x – y) \cdot \ln 2021 \cdot \ln 2}}\).

Ta có: \(x > y \Rightarrow x(\ln 2 – \ln 2021) < y(\ln 2 – \ln 2021)\)

Suy ra \(x(\ln 2 – \ln 2021) – y\ln 2 – {y^2}\ln 2021 < \left( { – {y^2} – y} \right)\ln 2021 < 0,\forall y \in \mathbb{Z}\).

Do đó \(f\prime (x) < 0,\forall x > y,y \in \mathbb{Z}\).

Ta có bảng biến thiên của \(f(x)\) là:

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f(y + 16) < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) + {\log _{2022}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) < {\log _2}16\\ \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) + \frac{{{{\log }_{2021}}\left( {{y^2} + y + 16} \right)}}{{{{\log }_{2021}}2022}} < 4\\ \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 16} \right) < \frac{4}{{1 + {{\log }_{2022}}2021}} \approx 2,00\\ \Leftrightarrow {y^2} + y + 16 < {2021^{\frac{4}{{1 + {{\log }_{0022}}2021}}}} \Leftrightarrow – 2021,99 \le y \le 2020,99\end{array}\)

Do \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \{ – 2021; – 2020; \ldots ;2020\} \).

Vậy có tất cả 4041 giá trị nguyên \(y\) thỏa yêu cầu bài toán.