Cho nguyên hàm \( I = \int {\frac{{\sqrt {{x^2} – 1} }}{{{x^3}}}} dx\) . Nếu đổi biến số \( x = \frac{1}{{\sin t}}\) với t thuộc \( t \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Đặt

\(\begin{array}{l}
x = \frac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\frac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = – \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t\\
\frac{{\sqrt {{x^2} – 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} – 1} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{{1 – {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} = {\sin ^3}t.\frac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.
\end{array}\)

Khi đó

\(
I = \smallint {\sin ^2}t.\cos t.\left( { – \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t = – {\mkern 1mu} \smallint {\cos ^2}t{\mkern 1mu} {\rm{d}}t = – \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\)