Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 4\) và điểm \(A \in \left( S \right)\). Gọi \(B\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow u = \left( {1; – 1;2} \right)\) và \(2a – b + 3c + 5 = 0\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) lớn nhất bằng

Câu hỏi:

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 4\) và điểm \(A \in \left( S \right)\). Gọi \(B\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow u = \left( {1; – 1;2} \right)\) và \(2a – b + 3c + 5 = 0\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) lớn nhất bằng

A. \(\frac{{4\sqrt {21} + 14\sqrt 6 }}{9}\).

B. \(\frac{{4\sqrt {21} + 14\sqrt 3 }}{9}\).

C. \(\frac{{2\sqrt {21} + 7\sqrt 6 }}{9}\).

D. \(\frac{{2\sqrt {21} + 7\sqrt 3 }}{9}\).

Lời giải

Nhận xét: \(B\left( {a;b;c} \right)\) luôn thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y + 3z + 5 = 0\)

\(\left( P \right)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; – 1;3} \right)\)

\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 2\)

Ta có: \(\sin \left( {AB,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{9}{{\sqrt 6 .\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{14}}\)

\( \Rightarrow AB = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{\sin \left( {AB,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{2d\left( {A;\left( P \right)} \right)\sqrt {21} }}{9}\)

Mặt khác, ta có: \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le R + d\left( {I,\left( P \right)} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le 2 + \sqrt {14} \)

Do đó: \(AB \le \frac{{4\sqrt {21} + 14\sqrt 6 }}{9}\)

Suy ra: \(A{B_{\max }} = \frac{{4\sqrt {21} + 14\sqrt 6 }}{9}\).

Vậy chọn A.

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ