Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\). Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) bằng

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\). Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) bằng

A. \(4\sqrt 2 \pi \).

B. \(8\pi \).

C. \(2\pi \).

D. \(4\pi \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\); \(y’ = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\).

Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\), suy ra \(I\left( {2;\,1} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) có dạng \(y = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} – 2}}\).

Tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) nên \(A\left( {2;\,\frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} – 2}}} \right)\), \(B\left( {2{x_0} – 2;\,1} \right)\).

Do tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R = \frac{{AB}}{2}\).

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) là \(P = AB.\pi \).

Chu vi bé nhất khi \(AB\) nhỏ nhất

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4 – 2{x_0};\,\frac{8}{{{x_0} – 2}}} \right)\)

Suy ra \(AB = \sqrt {4{{\left( {2 – {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{{{x_0} – 2}}} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {4{{\left( {{x_0} – 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{{{x_0} – 2}}} \right)}^2}} \)\( \ge \sqrt {2\sqrt {4.64} } = 4\sqrt 2 \)

Vậy \({P_{\min }} = 4\sqrt 2 .\pi \).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tiệm cận