Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) đến một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\). Giá trị lớn nhất của \(d\) có thể đạt được là

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) đến một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\). Giá trị lớn nhất của \(d\) có thể đạt được là

A. \(3\sqrt 3 \).

B. \(\sqrt 2 \).

C. \(\sqrt 3 \).

D. \(2\sqrt 2 \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(y’ = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số là \(I\left( { – 1;1} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {a;\frac{{a + 2}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) là:

\(y = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x – a} \right) + \frac{{a + 2}}{{a + 1}}\)\( \Leftrightarrow x + {\left( {a + 1} \right)^2}y – {a^2} – 4a – 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(I\left( { – 1;1} \right)\) đến tiếp tuyến là: \(d = \frac{{\left| { – 1 + {{\left( {a + 1} \right)}^2}.1 – {a^2} – 4a – 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {a + 1} \right)}^4}} }} = \frac{{\left| { – 2a – 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {a + 1} \right)}^4}} }}\).

Vì \(\sqrt {1 + {{\left( {a + 1} \right)}^4}} \mathop \ge \limits^{Cauchy} \sqrt {2.{{\left( {a + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \left| {a + 1} \right|\) nên \(d \le \frac{{2\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt 2 \left| {a + 1} \right|}} = \sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \)\(a = 0\) hoặc \(a = – 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(d\) có thể đạt được là \(\sqrt 2 \).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tiệm cận