Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) \(\left( C \right)\), gọi \(I\) là tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) và \(M\left( {a;b} \right)\) là một điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) cắt hai tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\). Để tam giác \(IAB\) có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất thì tổng \(a + b\) bằng bao nhiêu?
A. \( – 3\).
B. \(1\).
C. \(3\).
D. \(5\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(I\left( { – 1;2} \right)\); \(M\left( {a;\frac{{2a + 1}}{{a + 1}}} \right)\). \({y’_{}}(a) = \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\).
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(y = \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x – a} \right) + \frac{{2a + 1}}{{a + 1}}\).
Giao của tiếp tuyến và tiệm cận đứng \(A\left( { – 1;\,\,\frac{{2a}}{{a + 1}}} \right)\).
Giao của tiếp tuyến và tiệm cận ngang \(B\left( {2a + 1;\,\,2} \right)\).
Ta có \(IA = \frac{2}{{\left| {a + 1} \right|}};IB = 2\left| {a + 1} \right|\)\( \Rightarrow {S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = 2 = p.r\).
với \(p = IA + IB + AB = IA + IB + \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} \mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {IA.IB} + \sqrt {2IA.IB} = 2\sqrt 4 + \sqrt {2.4} \).
Suy ra \({r_{\max }}\) khi \({p_{\min }}\). Khi đó \(IA = IB.\)
Suy ra \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) đi qua \(I\)có hệ số góc \(k = – 1\) và đồ thị hàm số.
Phương trình qua \(d\) có dạng: \(y – 2 = – 1\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = – x + 1.\)
Hoành độ giao điểm của \(d\) và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
\( – x + 1 = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {0;1} \right)\\M\left( { – 2;3} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow a + b = 1\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tiệm cận
Để lại phản hồi