Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\), \(I\) là giao điểm các đường tiệm cận của \(\left( C \right)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt hai đường tiệm cận tại \(A\) và \(B\) thỏa mãn chu vi tam giác \(IAB\) là nhỏ nhất. Khi đó có mấy điểm \(M\)thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\), \(I\) là giao điểm các đường tiệm cận của \(\left( C \right)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt hai đường tiệm cận tại \(A\) và \(B\) thỏa mãn chu vi tam giác \(IAB\) là nhỏ nhất. Khi đó có mấy điểm \(M\)thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Giao điểm hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) là \(I\left( {1;2} \right)\).

Giả sử \(M\left( {m;2 + \frac{3}{{m – 1}}} \right) \in \left( C \right)\), \(m \ne 1\), ta có \(y’\left( m \right) = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {m – 1} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại \(M\) là: \(\left( \Delta \right):y = \frac{{ – 3}}{{{{\left( {m – 1} \right)}^2}}}\left( {x – m} \right) + 2 + \frac{3}{{m – 1}}\).

Tọa độ giao điểm \(A\), \(B\) của \(\left( \Delta \right)\) với các đường tiệm cận là: \(A\left( {1;2 + \frac{6}{{m – 1}}} \right)\) và \(B\left( {2m – 1;2} \right)\).

Ta thấy \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{6}{{\left| {m – 1} \right|}}.2\left| {m – 1} \right| = 2.3 = 6\) (Đvdt).

Như vậy tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) và có diện tích không đổi nên chu vi tam giác này nhỏ nhất khi \(IA = IB\)\( \Leftrightarrow \frac{6}{{\left| {m – 1} \right|}} = 2\left| {m – 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 3 \\m = 1 – \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Kết luận: Có 2 điểm \(M\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tiệm cận