Cho hai số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(3xy + 4x + {\log _3}{\left( {xy + 2x} \right)^x} = 27\). Khi \(P = \frac{2}{9}y + {x^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(x + {y^2}\) có giá trị bằng

Cho hai số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(3xy + 4x + {\log _3}{\left( {xy + 2x} \right)^x} = 27\). Khi \(P = \frac{2}{9}y + {x^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(x + {y^2}\) có giá trị bằng

A. \(8\).

B. \(\frac{{23}}{9}\).

C. \(50\).

D. \(\frac{{433}}{9}\).

Lời giải:

Ta có: \(3xy + 4x + {\log _3}{\left( {xy + 2x} \right)^x} = 27 \Leftrightarrow 3xy + 4x + x{\log _3}\left( {xy + 2x} \right) = 27\).

\( \Leftrightarrow 3y + 4 + {\log _3}x\left( {y + 2} \right) = \frac{{27}}{x}\). \( \Leftrightarrow 3\left( {y + 2} \right) + {\log _3}x + {\log _3}\left( {y + 2} \right) = \frac{{27}}{x} + 2\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {y + 2} \right) + {\log _3}\left( {y + 2} \right) = \frac{{27}}{x} – {\log _3}x + {\log _3}9\). \( \Leftrightarrow 3\left( {y + 2} \right) + {\log _3}\left( {y + 2} \right) = 3.\frac{9}{x} + {\log _3}\frac{9}{x}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = 3t + {\log _3}t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Có \(f’\left( t \right) = 3 + \frac{1}{{t\ln 3}} > 0,\forall t > 0\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Nên từ (1) ta suy ra:\( \Leftrightarrow y + 2 = \frac{9}{x}\).

\(P = \frac{2}{9}y + {x^2} = \frac{2}{9}\left( {\frac{9}{x} – 2} \right) + {x^2} = \frac{2}{x} + {x^2} – \frac{4}{9} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + {x^2} – \frac{4}{9}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + {x^2} – \frac{4}{9} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{x}.\frac{1}{x}.{x^2}}} – \frac{4}{9} = 3 – \frac{4}{9} = \frac{{23}}{9}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{1}{x} = {x^2} \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 9 – 2 = 7\). Khi đó \(x + {y^2} = 1 + {7^2} = 50\).

Ta chọn đáp án

C.

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024