![<p>Cho hai số thực (a), (b) đều lớn hơn (1). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = frac{1}{{{{log }_{ab}}a}} + frac{1}{{{{log }_{sqrt[4]{{ab}}}}b}}) bằng</p> 1](https://booktoan.com/wp-content/uploads/2020/06/maxresdefault.jpg "<p>Cho hai số thực (a), (b) đều lớn hơn (1). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = frac{1}{{{{log }_{ab}}a}} + frac{1}{{{{log }_{sqrt[4]{{ab}}}}b}}) bằng</p> 1")
Câu hỏi:
Cho hai số thực \(a\), \(b\) đều lớn hơn \(1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\) bằng
A. \(\frac{4}{9}\).
B. \(\frac{9}{4}\).
C. \(\frac{9}{2}\).
D. \(\frac{1}{4}\).
Lời giải
Chọn B
Ta có \(S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\)\( = {\log _a}\left( {ab} \right) + {\log _b}\sqrt[4]{{ab}}\)
\( = 1 + {\log _a}b + \frac{1}{4}\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)\)\( = {\log _a}b + \frac{1}{{4{{\log }_a}b}} + \frac{5}{4}\).
Đặt \(x = {\log _a}b\). Do \(a\), \(b > 1\) nên \(x > 0\). Khi đó \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\).
Cách 1.
Ta có \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\)\( \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}\) (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(x\) và \(\frac{1}{4}x\)).
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{4x}}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{1}{2}\\x > 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy \(\min S = \frac{9}{4}\) tại \({\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \).
Cách 2.
Ta có \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có
\(f’\left( x \right) = 1 – \frac{1}{{4{x^2}}}\)\( = \frac{{4{x^2} – 1}}{{4{x^2}}}\); \(f’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x = – \frac{1}{2} \notin \left( {0; + \infty } \right)\) hoặc \(x = \frac{1}{2} \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Bảng biến thiên:
![<p>Cho hai số thực (a), (b) đều lớn hơn (1). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = frac{1}{{{{log }_{ab}}a}} + frac{1}{{{{log }_{sqrt[4]{{ab}}}}b}}) bằng</p> 2](https://lh6.googleusercontent.com/j-HyPk6CgeiCGd5Ojw4k5Zk91AV3wlU-YJ10Wv4gEoxA8Wpn59k61wO-4spOQbx19m0M-QlF3PHulJgSQJXjkv6XRA9QT__QoAPg2dou-SVxUhSaAXah3MEJmH82E9kf35CHziQ=s0 "<p>Cho hai số thực (a), (b) đều lớn hơn (1). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (S = frac{1}{{{{log }_{ab}}a}} + frac{1}{{{{log }_{sqrt[4]{{ab}}}}b}}) bằng</p> 2")
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0\,\,; + \infty } \right)} f\left( x \right) = \frac{9}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\).
Vậy \(\min S = \frac{9}{4}\) tại \({\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Để lại phản hồi