Cho F( x ) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)= x\sqrt {{x^2} – m} \). Số giá trị của tham số m để \( F\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{7}{3};F\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{14}}{3}\)

Ta có: \(
F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right)dx = \smallint x\sqrt {{x^2} – m} dx\)

Đặt \(\begin{array}{l}
t = \sqrt {{x^2} – m} \Rightarrow {t^2} = {x^2} – m \Leftrightarrow tdt = xdx\\
\Rightarrow F\left( x \right) = \smallint t.tdt = \smallint {t^2}dt = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} – m} } \right)}^3}}}{3} + C
\end{array}\)

Theo bài ra ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
F\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{7}{3}\\
F\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{14}}{3}
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{{\left( {\sqrt {2 – m} } \right)}^3}}}{3} = \frac{7}{3}\\
{\left( {\sqrt {5 – m} } \right)^3} – {\left( {\sqrt {2 – m} } \right)^3} = 7
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{{\left( {\sqrt {2 – m} } \right)}^3}}}{3} = \frac{7}{3}\\
{\left( {\sqrt {5 – m} } \right)^3} – {\left( {\sqrt {2 – m} } \right)^3} – 7 = 0(*)
\end{array} \right.\)

Xét hàm số

\(
f\left( m \right) = {\left( {\sqrt {5 – m} } \right)^3} – {\left( {\sqrt {2 – m} } \right)^3} – 7\) với m≤2

Ta có

\(
f’\left( m \right) = – \frac{3}{2}\sqrt {5 – m} + \frac{3}{2}\sqrt {2 – m} = \frac{3}{2}\left( {\sqrt {2 – m} – \sqrt {5 – m} } \right)\)

Vì

\(
2 – m < 5 – m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \le 2 \Rightarrow \sqrt {2 – m} < \sqrt {5 – m} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \le 2\) , do đó \(
f’\left( m \right) < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m \le 2\)

Suy ra hàm số f(m) nghịch biến trên (−∞;2]

Khi đó phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm, mà f(1)=0 nên m=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Vậy có 1 giá trị của mm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C