Cho đồ thị hai hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x-1}$ và $g\left( x \right)=\dfrac{ax+1}{x-2}$, $a\ne -\dfrac{1}{2}$

Cho đồ thị hai hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x-1}$ và $g\left( x \right)=\dfrac{ax+1}{x-2}$, $a\ne -\dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị thực dương của $a$ để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là $4$.
Đáp án: 5

Lời giải: Đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x-1}$ có hai đường tiệm cận là $x=1$ và $y=1$.
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{ax+1}{x-2}$ có hai đường tiệm cận là $x=2$ và $y=a$.
Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước lần lượt là $1$ và $\left| a-1 \right|$.
Theo giả thiết, ta có $\left| a-1 \right|.1=4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=5 \\ a=-3 \end{array} \right.$. Vì $a{>}0$ nên chọn $a=5$.