[Bayes] Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh $X$ ở một địa phương là $65\%$

Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh $X$ ở một địa phương là $65\%$. Trong số những
người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh $X$ là $5\%$ còn trong số những người chưa tiêm, tỉ lệ
mắc bệnh $X$ là $17\%$. Gặp ngẫu nhiên một người ở địa phương đó. Biết rằng người đó mắc bệnh $X$. Khi đó xác suất người đó không tiêm vắc xin phòng bệnh $X$ có dạng $\dfrac{a}{b}$. Giá trị $b-a$ là?
Đáp án: 65

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố ” người đó mắc bệnh $X$” và $B$ là biến cố ” Gặp được người đã tiêm vắc xin phòng bệnh $X$”.
Theo công thức xác suất từng phần , ta có:
$\begin{array}{l} \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B)\cdot \mathrm{P}(A|B)+\mathrm{P}(\overline{B})\cdot \mathrm{P}(A|\overline{B}) \\ = 0,65\cdot 0,05+0,35\cdot 0,17=0,092. \end{array}$ Suy ra
$\begin{array}{l} \mathrm{P}(\overline{B}|A) = \dfrac{\mathrm{P}(A \overline{B})}{\mathrm{P}(A)}=\dfrac{\mathrm \mathrm{P}(\overline{B})\mathrm{P}(A|\overline{B})}{\mathrm{P}(A)} \\ = \dfrac{0,35\cdot 0,17}{0,092}=\dfrac{119}{184}. \end{array}$
Khi đó $a=119$ và $b=184$, suy ra $b-a=65$.