[Bayes] Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bò bị bệnh bò điên

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bò bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác $100\%$. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm X, cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm X là $70\%$, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm X là $10\%$. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là $13$ con trên $1 000 000$ con. Khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm X thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là:

*A. $\dfrac{91}{1 000 078}$.

B. $\dfrac{91}{8999974}$.

C. $\dfrac{91}{30 000 52}$.

D. $\dfrac{91}{1 000 78}$.

Lời giải: Xét các biến cố:
$A:$ “Con bò ở Hà Lan bị bệnh bò điên”;
$B:$ “Con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm X”.
Theo giả thiết, ta có: $P\left(A\right) = 0,000013; P\left(B|A\right) = 0,7; P\left(B|\overline{A}\right) = 0,1.$
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
$P\left(B\right) = P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right) = 0,000013 . 0,7 + \left(1- 0,000013\right) . 0,1 = 0,1000078.$
Theo công thức Bayes, ta có: $P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{0,000013 . 0,7}{0,1000078} = \dfrac{91}{1 000 078}$.
Vậy xác suất để một con bò Hà Lan bị bệnh bò điên nếu nó phản ứng dương tính với xét nghiệm A là $\dfrac{91}{1 000 078}$.