[Bayes] Một ứng dụng được sử dụng để chặn cuộc gọi rác trong điện thoại

Một ứng dụng được sử dụng để chặn cuộc gọi rác trong điện thoại. Tuy nhiên, vì ứng dụng không tuyệt đối hoàn hảo nên một cuộc gọi rác bị chặn với xác suất $0,8$ và một cuộc gọi đúng (không phải là cuộc gọi rác) bị chặn với xác suất $0,01$. Thống kê cho thấy tỉ lệ cuộc gọi rác là $10\%$. Chọn ngẫu nhiên một cuộc gọi không bị chặn. Xác suất để đó là cuộc gọi đúng là

*A. $\dfrac{891}{911}$.

B. $\dfrac{213}{911}$.

C. $\dfrac{891}{911}$.

D. $\dfrac{123}{892}$.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố: “cuộc gọi được chọn là cuộc gọi rác”, $B$ là biến cố: “cuộc gọi chọn bị chặn” thì $\widehat{B}$ là biến cố: “cuộc gọi được chọn không bị chặn”.
Theo đầu bài ta có: $P\left(A\right) = 0,1$, $P\left(\widehat{A}\right) = 0,9$, $P\left(\left.B\right|A\right) = 0,8$, $P\left(\left.B\right|\widehat{A}\right) = 0,01$.
Ta có: $P\left(B\right) = P\left(\left.B\right|A\right).P\left(A\right)+ P\left(\left.B\right|\widehat{A}\right).P\left(\widehat{A}\right) = 0,8.0,1+ 0,01.0,9 = 0,089$.
Vì $P\left(\left.B\right|\widehat{A}\right) = 0,01\Rightarrow P\left(\left.\widehat{B}\right|\widehat{A}\right) = 0,99$, $P\left(\left.B\right|A\right) = 0,8\Rightarrow P\left(\left.\widehat{B}\right|A\right) = 0,2$
Theo công thức Bayes ta có:
$P\left(\left.\widehat{A}\right|\widehat{B}\right) = \dfrac{P\left(\widehat{A}\right).P\left(\left.\widehat{B}\right|\widehat{A}\right)}{P\left(\widehat{A}\right).P\left(\left.\widehat{B}\right|\widehat{A}\right)+ P\left(A\right).P\left(\left.\widehat{B}\right|A\right)} = \dfrac{0,9.0,99}{0,9.0,99+ 0,1.0,2} = \dfrac{891}{911}$.